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Torsión mecánica

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Viga circular bajo torsión
Viga circular bajo torsión

En ingeniería, torsión es la solicitación que se presenta cuando se aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecánico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensión predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas.

La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por la dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de él (ver torsión geométrica).

El estudio general de la torsión es complicado porque bajo ese tipo de solicitación la sección transversal de una pieza en general se caracteriza por dos fenómenos:

1. Aparecen tensiones tangenciales paralelas a la sección transversal. Si estas se represetan por un campo vectorial sus líneas de flujo "circulan" alrededor de la sección.
2. Cuando las tensiones anteriores no están distribuidas adecuadamente, cosa que sucede siempre a menos que la sección tenga simetría circular, aparecen alabeos seccionales que hacen que las secciones transversales deformadas no sean planas.

El alabeo de la sección complica el cálculo de tensiones y deformaciones, y hace que el momento torsor pueda descomponerse en una parte asociada a torsión alabeada y una parte asociada a la llamada torsión de Saint-Venant. En función de la forma de la sección y la forma del alabeo, pueden usarse diversas aproximaciones más simples que el caso general.
Contenido
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* 1 Torsión general: Dominios de torsión
* 2 Torsión de Saint-Venant pura
o 2.1 Torsión recta: Teoría de Coulomb
o 2.2 Torsión no recta: Teoría de Saint-Venant
o 2.3 Analogía de la membrana de Prandtl
o 2.4 Secciones cerradas simples de pared delgada
o 2.5 Secciones multicelulares de pared delgada
* 3 Torsión alabeada pura
o 3.1 Secciones abiertas de pared delgada
* 4 Torsión mixta
* 5 Referencias

Torsión general: Dominios de torsión [editar]

En el caso general se puede demostrar que el giro relativo de una sección no es constante y no coincide tampoco con la función de alabeo unitario. A partir del caso general, y definiendo la esbeltez torsional como:

\lambda_T \approx L\sqrt{\frac{GJ}{EI_\omega}}


Donde G, E son respectivamente el módulo de elasticidad transversal y el módulo elasticidad longitudinal, J, Iω son el módulo torsional y el momento de alabeo y L es la longitud de la barra recta. Podemos clasificar los diversos casos de torsión general dentro de límites donde resulten adecuadas las teorías aproxiamdas expuestas a continuación.

De acuerdo con Kollbruner y Basler:[1]

* Torsión de Saint-Venant pura, cuando \lambda_T \in (10,\infty).
* Torsión de Saint-Venant dominante, cuando \lambda_T \in [5,10).
* Torsión alabeada mixta, cuando \lambda_T \in (2,5).
* Torsión alabeada dominante, cuando \lambda_T \in (1/2,2].
* Torsión alabeada pura, cuando \lambda_T \in (0,1/2].

El cálculo exacto de la torsión en el caso general puede llevarse a cabo mediante métodos variacionales o usando un lagrangiano basado en la energía de deformación. El caso de la torsión alabeada mixta sólo puede ser tratado la teoría general de torsión. En cambio la torsión de Saint-Venant y la torsión alabeada puras admiten algunas simplifaciones útiles.

Torsión de Saint-Venant pura [editar]

La teoría de la torsión de Saint-Venant es aplicable a piezas prismáticas de gran inercia torsional con cualquier forma de sección, en esta simplificación se asume que el llamado momento de alabeo es nulo, lo cual no significa que el alabeo seccional también lo sea. La teoría de torsión de Saint-Venant da buenas aparoximaciones para valores λT > 10, esto suele cumplirse en:

1. Secciones macizas de gran inercia torsinal (circulares o de otra forma).
2. Secciones tubulares cerradas de pared delgada.
3. Secciones multicelulares de pared delgada.

Para secciones no circulares y sin simetría de revolución la teoría de Sant-Venant además de un giro relativo de la sección transversal respecto al eje baricéntrico predice un alabeo seccional o curvatura de la sección transversal. La teoría de Coulomb de hecho es un caso particular en el que el alabeo es cero, y por tanto sólo existe giro.

Torsión recta: Teoría de Coulomb [editar]

La teoría de Coulomb es aplicable a ejes de transmisión de potencia macizos o huecos, debido a la simetría circular de la sección no pueden existir alabeos diferenciales sobre la sección. De acuerdo con la teoría de Coulomb la torsión genera una tensión cortante el cual se calcula mediante la fórmula:

\tau_\rho = \frac {T}{J}\rho

Donde:

\tau_\rho\; : Esfuerzo cortante a la distancia ρ.
T: Momento torsor total que actúa sobre la sección.
\rho\ : distancia desde el centro geométrico de la sección hasta el punto donde se está calculando la tensión cortante.
J: Módulo de torsión.


Esta ecuación se asienta en la hipótesis cinemática de Coulomb sobre como se deforma una pieza prismática con simetría de revolución, es decir, es una teoría aplicable sólo a elementos sección circular o circular hueca. Para piezas con sección de ese tipo se supone que el eje baricéntrico permanece inalterado y cualquier otra línea paralea al eje se transforma en una espiral que gira alrededor del eje baricéntrico, es decir, se admite que la deformación viene dada por unos desplazamientos del tipo:

u_x(x,y,z) = 0 \qquad u_y(x,y,z) = -\alpha(x) z \qquad u_z(x,y,z) = +\alpha(x) y


El tensor de deformaciones para una pieza torsionada como la anterior se obtiene derivando adecuadamente las anteriores componentes del vector de desplazamiento:

\varepsilon_{xx} = \frac{\partial u_x}{\partial x} = 0 \qquad \varepsilon_{xy} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_x}{\partial y} + \frac{\partial u_y}{\partial x}\right) = -\frac{1}{2} \frac{\partial \alpha}{\partial x}z = -\frac{\alpha'_x z}{2}
\varepsilon_{yy} = \frac{\partial u_y}{\partial y} = 0 \qquad \varepsilon_{xz} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_x}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial x}\right) = +\frac{1}{2} \frac{\partial \alpha}{\partial x}y = +\frac{\alpha'_x y}{2}
\varepsilon_{zz} = \frac{\partial u_z}{\partial z} = 0 \qquad \varepsilon_{yz} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_y}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial y}\right)= 0


A partir de estas componentes del tensor de deformaciones usando las ecuaciones de Lamé-Hooke llevan a que el tensor tensión viene dado por:

\mathbf{T}_{tor} = \frac{G}{2} \begin{bmatrix} 0 & -\alpha'_x z & +\alpha'_x y \\ -\alpha'_x z & 0 & 0 \\ +\alpha'_x y & 0 & 0 \end{bmatrix}