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Algebra Lineal: Conceptos Básicos





Summary: Este modulo le dara un pequeño tutorial de algunos de los términos básicos e ideas de álgebra lineal.





Este pequeño tutorial da algunos términos clave de álgebra lineal, no pretende remplazar o ser muy provechoso como en aquellos que usted pretende ganar una profundidad en álgebra lineal. En cambio esto es una pequeña introducción a algunos términos e ideas de álgebra lineal para darnos un pequeño repaso para aquellos que tratan de tener un mejor entendimiento o de aprender sobre eigenvectores (vectores propios) y eigenfunciones (funciones propias), que juegan un papel muy importante en la obtención de ideas importantes en Señales y Sistemas. La meta de estos conceptos es de proveer un respaldo para la descomposición de señales y para conducirnos a la derivación de las Series de Fourier.




Independencia Lineal

Un conjunto de vectores

∀x,xi∈ℂn:
x1x2…xk




x






x
i





n







x
1




x
2


…


x
k




es linealmente independiente si ninguno de los vectores puede escribirse como una combinación lineal de los otros.

Definition 1:
1 Linealmente Independiente

Un conjunto dado de vectores

x1x2…xn





x
1




x
2


…


x
n



, es linealmente independiente si


c
1
x1+
c
2
x2+…+
c
n
xn=0







c
1



x
1






c
2



x
2



…



c
n



x
n




0


solo cuando

c
1
=
c
2
=…=
c
n
=0



c
1


c
2

…

c
n

0


Ejemplo

Dados los siguientes dos vectores:

x1=
32





x
1




3
2




x2=
-6-4





x
2




-6
-4




Estos son no linealmente independientes por el siguiente argumento, el cual por inspección, se puede ver que no se apega a la definición anterior de independencia lineal:


x2=-2x1⇒2x1+x2=0






x
2




-2


x
1










2


x
1





x
2



0

.
Otro método para ver la independencia de los vectores es graficando los vectores. Observando estos dos vectores geométricamente (como en la siguiente figura 1), uno puede otra vez probar que estos vectores son no
linealmente independientes.


Figura 1:
Representación gráfica de dos vectores que no son linealmente independientes.
Figura 1 (vec_f1.png)
Ejemplo 1


Dados los siguientes dos vectores:


x1=
32





x
1




3
2




x2=
12





x
2




1
2




Estos son linealmente independientes ya que


c
1
x1=-
c
2
x2





c
1



x
1








c
2



x
2






solo si


c
1
=
c
2
=0



c
1


c
2

0
. Basados en la definición, esta demostración muestra que estos vectores son linealmente independientes. También podemos graficar estos dos vectores (véase figura 2) para checar la independencia lineal.
Figura 2:
Representación gráfica de dos vectores que son linealmente independientes.
Figura 2 (vec_f2.png)


Exercise 1


¿Son


x1x2x3





x
1




x
2




x
3



linealmente independientes?


x1=
32





x
1




3
2




x2=
12





x
2




1
2




x3=
-10





x
3




-1
0






Solution 1


Jugando un poco con los vectores y haciendo intentos de prueba y error, descubrimos la siguiente relación:

x1-x2+2x3=0








x
1




x
2





2


x
3




0


donde encontramos una combinación lineal de estos tres vectores igual a cero sin utilizar los coeficientes igual a cero. Por lo tanto, estos vectores son ¡no
linealmente independientes!


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]



Como podemos ver en los dos ejemplos anteriores, a veces la independencia de vectores puede ser vista fácilmente a través de una gráfica. Sin embargo esto no es tan sencillo, cuando se nos dan tres o más vectores. Puede decir fácilmente cuando o no estos vectores son independientes figura 3. Probablemente no, esto es, por lo cual el método usado en la solución anterior se vuelve importante.
Figura 3:
Gráfica de tres vectores. Puede ser mostrado que la combinación lineal existe entre los tres, y por lo tanto estos son
no linealmente independientes.
Figura 3 (vec_f3.png)



observación:


Un conjunto de mm vectores en

ℂn



n
no puede ser linealmente independiente si
m>n


m
n
.






Subespacio Generado




Definition 2:
Subespacio Generado

El subespacio generado o span del conjuto de vectores

x1x2…xk





x
1




x
2


…


x
k




es el conjunto de vectores que pueden ser escritos como una combinación lineal de

x1x2…xk





x
1




x
2


…


x
k





subespacio generado
x1…xk
=
∀α,
α
i
∈ℂn:
α
1
x1+
α
2
x2+…+
α
k
xk




subespacio generado




x
1


…


x
k










α





α
i




n








α
1



x
1






α
2



x
2



…



α
k



x
k









Ejemplo


Dado el vector

x1=
32





x
1




3
2




el subespacio generado de
x1


x
1


es una linea.

Ejemplo


Dado los vectores

x1=
32





x
1




3
2




x2=
12





x
2




1
2




El subespacio generado por estos vectores es

ℂ2



2
.









Bases




Definition 3:
Base

Una base para

ℂn



n

es un conjunto de vectores que: (1) generan

ℂn



n

y (2) es linealmente independiente.




Claramente, un conjunto de nn vectores linealmente independientes es una base para
ℂn



n
.

Ejemplo 2


Dado el siguiente vector


ei=
0⋮010⋮0





e
i




0
⋮
0
1
0
⋮
0




donde el 11 esta siempre en la ii-esima posición y los valores restantes son ceros. Entonces la base para

ℂn



n
es


∀i,i=
12…n
:ei






i




i


1
2
…
n







e
i







note:




∀i,i=
12…n
:ei






i




i


1
2
…
n







e
i






es llamada la base canónica.


Ejemplo 3



h1=
11





h
1




1
1




h2=
1-1





h
2




1
-1





h1h2





h
1




h
2



es una base para
ℂ2



2
.

Figura 4:
Gráfica de bases para

ℂ2



2

Figura 4 (vec_f4.png)


Si

b1…b2





b
1


…


b
2



es una base para
ℂn



n
, entonces podemos expresar cualquier

x∈ℂn


x



n

como una combinación lineal de


b
i


b
i
's:


∀α,
α
i
∈ℂ:x=
α
1
b1+
α
2
b2+…+
α
n
bn



α





α
i






x





α
1



b
1






α
2



b
2



…



α
n



b
n






Ejemplo 4


Dado el siguiente vector,
x=
12



x


1
2




escribiendo

x
x en términos de


e1e2





e
1




e
2



nos da

x=e1+2e2


x




e
1




2


e
2







Exercise 2


Trate de escribir
x
x
en términos de

h1h2





h
1




h
2



(definidos en el ejemplo anterior).




Solution 2



x=32h1+-12h2


x






3
2




h
1








-1
2



h
2








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En los dos ejemplos de bases anteriores,

x
x es el mismo vector en ambos casos, pero podemos expresarlo de varias diferentes maneras (dimos solo dos de las muchas posibilidades). Se puede extender aun más la idea de bases para espacio de funciones.


nota:


: Como se menciono en la introducción, estos conceptos de álgebra lineal nos ayudaran para entender las Series de Fourier, las que nos dicen que podemos expresar las funciones periódicas
ft

f
t
,
en términos de sus funciones de bases

ⅇⅈ
ω
0
nt






ω
0

n
t

.









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